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Basiswissen F-P

Basiswissen Bilogie, Chemie, Physik F-P

Fraktal

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Berühmtes Fraktal:
die Mandelbrot-Menge (sogenanntes „Apfelmännchen“)

Fraktal ist ein von Benoît Mandelbrot geprägter Begriff (lat. fractus ‚gebrochen‘, von lat. frangere ‚brechen‘, ‚in Stücke zerbrechen‘), der natürliche oder künstliche Gebilde oder geometrische Muster bezeichnet, die einen hohen Grad von Skaleninvarianz bzw. Selbstähnlichkeit aufweisen. Das ist beispielsweise der Fall, wenn ein Objekt aus mehreren verkleinerten Kopien seiner selbst besteht. Geometrische Objekte dieser Art unterscheiden sich in wesentlichen Aspekten von gewöhnlichen glatten Figuren.

Der Begriff Fraktal kann sowohl substantivisch wie adjektivisch verwendet werden. Das Gebiet der Mathematik, in dem Fraktale und ihre Gesetzmäßigkeiten untersucht werden, heißt fraktale Geometrie und ragt in mehrere andere Bereiche hinein, wie Funktionentheorie, Berechenbarkeitstheorie und dynamische Systeme. Wie der Name schon andeutet, wird der klassische Begriff der euklidischen Geometrie erweitert, was sich auch in den gebrochenen und nicht natürlichen Dimensionen vieler Fraktale widerspiegelt. Neben Mandelbrot gehören Wacław Sierpiński und Gaston Maurice Julia zu den namensgebenden Mathematikern.

Fraktale Dimension; Selbstähnlichkeit

In der traditionellen Geometrie ist eine Linie eindimensional, eine Fläche zweidimensional und ein räumliches Gebilde dreidimensional. Für die fraktalen Mengen lässt sich die Dimensionalität nicht unmittelbar angeben: Führt man beispielsweise eine Rechenoperation für ein fraktales Linienmuster tausende von Malen fort, so füllt sich mit der Zeit die gesamte Zeichenfläche (etwa der Bildschirm des Computers) mit Linien, und das eindimensionale Gebilde nähert sich einem zweidimensionalen.

Mandelbrot benutzte den Begriff der verallgemeinerten Dimension nach Hausdorff und stellte fest, dass fraktale Gebilde meist eine nicht-ganzzahlige Dimension aufweisen. Sie wird auch als fraktale Dimension bezeichnet. Daher führte er folgende Definition ein:

Ein Fraktal ist eine Menge, deren Hausdorff-Dimension größer ist als ihre Lebesgue’sche Überdeckungsdimension.

Fraktale in der Natur

Romanesco

Fraktale Konzepte findet man auch in der Natur. Dabei ist jedoch die Anzahl der Stufen von selbstähnlichen Strukturen begrenzt und beträgt oft nur drei bis fünf. Typische Beispiele aus der Biologie sind die fraktalen Strukturen bei der grünen Blumenkohlzüchtung Romanesco und bei den Farnen. Auch der Blumenkohl hat einen fraktalen Aufbau, wobei man es diesem Kohl auf den ersten Blick häufig gar nicht ansieht. Es gibt aber immer wieder einige Blumenkohlköpfe, die dem Romanesco im fraktalen Aufbau sehr ähnlich sehen.

Weit verbreitet sind fraktale Strukturen ohne strenge sondern mit statistischer Selbstähnlichkeit. Dazu zählen beispielsweise Bäume, der Blutkreislauf, Flusssysteme und Küstenlinien. Im Fall der Küstenlinie ergibt sich als Konsequenz die Unmöglichkeit einer exakten Bestimmung der Küstenlänge. Je genauer man die Feinheiten des Küstenverlaufes misst, umso größer ist die Länge, die man erhält. Im Falle eines mathematischen Fraktals, wie beispielsweise der Kochkurve, wäre sie unbegrenzt.

Fraktale finden sich auch als Erklärungsmodelle für chemische Reaktionen. Systeme wie die Oszillatoren (Standardbeispiel Belousov-Zhabotinsky-Reaktion) lassen sich einerseits als Prinzipbild verwenden, andererseits aber auch als Fraktale erklären. Ebenso findet man fraktale Strukturen auch im Kristallwachstum und bei der Entstehung von Mischungen, wenn man z. B. einen Tropfen Farblösung in ein Glas Wasser gibt.

Das Auffasern von Bast lässt sich über die fraktale Geometrie von Naturfaserfibrillen erklären. Insbesondere ist die Flachsfaser eine fraktale Faser.

 

Instinktverhalten

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(Weitergeleitet von Intentionsbewegung)

Instinktverhalten bezeichnet innerhalb der “physiologischen Theorie der Instinktbewegung” eine angeborene komplexe Verhaltensweise, die aus gegeneinander abgrenzbaren Grundbausteinen des Verhaltens aufgebaut ist: den Instinktbewegungen; ein anderes Wort für Instinktbewegung ist Erbkoordination oder Fixed Action Pattern (FAP). Der englische Begriff wird aufgrund der historischen Belastung dem deutschen Begriff mittlerweile vorgezogen. Instinktbewegungen werden gemäß der erstmals 1937 von Konrad Lorenz formulierten Theorie durch einen Schlüsselreiz ausgelöst und können so lange ablaufen, wie eine innere Handlungsbereitschaft vorhanden ist.

Synonyme für Handlungsbereitschaft: Motivation, Trieb, Antrieb, Stimmung, Drang, Tendenz.

“Bausteine” des Instinktverhaltens

Instinktverhalten (genauer: eine Instinktbewegung) besteht nach Lorenz aus voneinander unabhängigen Teilelementen, und zwar aus dem angeborenen Erkennen einer auslösenden Situation (vergl. Schlüsselreiz), einem Aktivierungsmechanismus (dem Angeborenen Auslösemechanismus), einer Bewegungskomponente und einem spezifischen inneren Antrieb für die Bewegungskomponente (von Lorenz eingeführt unter der Bezeichnung aktionsspezifische Erregung).

Das Verhalten muss vier Kriterien erfüllen, um als angeboren und damit als Instinktverhalten zu gelten:

Es muss

  • stereotyp sein, (wobei ungerichtete Appetenz sehr variabel sein kann)
  • bei allen Exemplaren einer Art auftreten, (in Abhängigkeit vom Reifezustand)
  • auch bei isoliert aufgezogenen Exemplaren dieser Art auftreten (Sonderfall: Prägung), und
  • auch bei Exemplaren auftreten, die zuvor an der Ausübung der Verhaltensfigur gehindert wurden.

Häufig finden sich bei einem vollständig ablaufenden Instinktverhalten drei Phasen:

  1. Die Basis einer instinktgeleiteten Handlung ist das ungerichtete Appetenzverhalten, das im Rahmen der Instinkttheorie als Suche nach bestimmten Schlüsselreizen aufgefasst wird. Voraussetzung ist eine selektive, für bestimmte Reize sensibilisierte Wahrnehmung der Umwelt und eine aktivierte Handlungsbereitschaft.
  2. Bei Wahrnehmung des gesuchten Schlüsselreizes und bei entsprechender Handlungsbereitschaft findet ein gerichtetes Appetenzverhalten (Taxis, Orientierungsbewegung) statt, eine Ausrichtung auf das Objekt hin.
  3. Diese Bewegung führt zu weiteren Schlüsselreizen, die letztlich die Endhandlung auslösen. Bei Erfolg (z.B. Fangen eines Beutetieres) setzt die vollzogene Endhandlung die Handlungsbereitschaft herab. Sie läuft stets auf die gleich Art und Weise ab und kann nicht mehr unterbrochen werden.

Die “Kontrolle” durch die Handlungsbereitschaft ermöglicht einen Abbruch des ursprünglichen Verhaltens und den Übergang zu einem anderen Verhalten, wenn sich die inneren oder äußeren Bedingungen ändern. Beispiel: Ein Vogel auf Nahrungssuche wird diese unterbrechen, wenn er von einer Katze bedroht wird.

Instinktbewegungen können der Theorie zufolge mit sehr unterschiedlicher Stärke auftreten: von ihrer vollen Ausprägung bis hin zu bloß angedeuteten Bewegungen, die als Intentionsbewegungen aufgefasst werden. Auch werden von den Vertretern der Instinkttheorie Bewegungsmuster höchst unterschiedlicher Komplexität als Instinktbewegungen bezeichnet: bei Vögeln zum Beispiel sowohl Kratz- und Pickbewegungen als auch so komplizierte Bewegungsabfolgen wie das Schlingen eines Knotens beim Nestbau mancher Vögel.

Historisches

Das fortschrittliche und grundlegend neue an diesem Konzept war in den 1930er-Jahren, dass tierisches Verhalten weder als rein reaktiv angesehen wurde (wie von den klassischen Behavioristen) noch als Kette starrer Reflexe, sondern dass auch innere Zustandsänderungen – also die Spontaneität des Verhaltens – in Rechnung gestellt wurde. Ferner wurde der Blick besonders auf angeborenes, ererbtes Verhalten gerichtet und auf dessen Plastizität.

Heute spielt die Instinkttheorie in der Forschung kaum noch eine Rolle, da die Hirnforschung bislang keinerlei physiologische Entsprechung zur postulierten aktionsspezifischen Erregung auffinden konnte. Ob dies eher als Mangel der “physiologischen Theorie der Instinktbewegung” anzusehen oder auf noch bestehende experimentelle Unzulänglichkeiten der Hirnforschung zurückzuführen ist, kann derzeit nicht entschieden werden.

siehe auch: Reaktionskette, Instinkt, Ethologie, Verhaltensbiologie, Leerlaufhandlung, Übersprungbewegung

 

Lineares System (Systemtheorie)

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In der Mathematik beschreibt der Begriff lineares System ein System linearer Gleichungen. Ein Beispiel ist das lineare Gleichungssystem, bei dem die Lösungen der Gleichungen Zahlen sind, ein lineares System kann aber auch ein System von gewöhnlichen Differentialgleichungen meinen oder einfache funktionale Zusammenhänge.

Lineare Systeme in der Systemtheorie

In der Systemtheorie, die sich als Nachfolger und Metatheorie der Regelungstechnik, Operations Research und Dynamische Optimierung versteht, ist ein System ein Modell für einen hinreichend gut isolierten Teil der Natur (erster oder zweiter Art). Als solches hat es Zustandsgrößen und eine Dynamik, die die zeitliche Entwicklung dieser beschreibt. Von außerhalb des abgesonderten Bereichs gibt es Wechselwirkungen, die zwar als schwach angenommen werden, aber vorhanden sind. Diese modifizieren die innere Dynamik. Um steuernd und regelnd eingreifen zu können, muss der Zustand des Systems hinreichend bekannt sein. Jedoch sind beobachtbare Größen meist nur Funktionen der inneren Zustandsgrößen, welche den inneren Zustand nicht eindeutig charakterisieren.

Ein lineares System ist nun ein System, in welchem alle auftretenden Funktionen, der Dynamik, der äußeren Einflüsse und der Beobachtung, (möglicherweise nichtlinear von der Zeit abhängige) lineare Abbildungen sind.

Allgemein kann man ein mathematisches Modell eines Systems mit innerem Zustand x(t), äußeren Einflüssen u(t) und Beobachtungen y(t) darstellen als

wobei A und C die das System beschreibenden Funktionen sind. Ein mathematisches Modell eines linearen Systems hat dann die Form

wobei A, B, C, D zeitabhängige Matrizen passender Dimensionen sind, insbesondere muss A quadratisch sein. Die Matrizen können zu einer Blockmatrix zusammengefasst werden, diese heißt dann Systemmatrix.

Nichtlineares System

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(Weitergeleitet von Nichtlinearität)

Nichtlineare Systeme sind Systeme, welche auf Eingangssignale (Systemreize) nicht in jedem Bereich proportional antworten. Sie sind wesentlich komplexer als lineare Systeme und somit auch Gegenstand der allgemeinen Systemtheorie.

Allgemeine Grundlagen

Für Nichtlineare Systeme (Abk.: NL-Systeme) gilt, im Gegensatz zu linearen Systemen, das Superpositionsprinzip nicht. Das heißt, man kann nicht von mehreren bekannten Systemreiz-Systemantwort-Paaren auf eine unbekannte Systemantwort zu gegebenem Systemreiz schließen. Ferner unterscheidet man die Nichtlinearität eines Systems in statische, dynamische, einwertige und mehrwertige Nichtlinearität. Da es zu nichtlinearen Systemen keine geschlossene mathematische Theorie gibt, gibt es auch keine allgemeine Methode zur Analyse unbekannter nichtlinearer Systeme. Die meisten in der Natur vorkommenden Systeme sind nichtlinear.

Statische nichtlineare Systeme

Unter statischen nichtlinearen Systemen versteht man solche, die ohne Zeitverzögerung auf einen Systemreiz reagieren. Zum Beispiel ist die Gleichrichterkennlinie einer idealen Diode, die allgemein als linear bezeichnet wird, im systemtheoretischen Sinne nichtlinear, da die Systemantwort für negative Eingangswerte null wird, sowie statisch. Statische Systeme können durch eine statische Kennlinie beschrieben werden, wie sie in den Abbildungen gezeigt werden.

Veranschaulichung einer linearen (linkes Diagramm) gegenüber einer nichtlinearen (rechtes Diagramm) Kennlinie. Die gestrichelte Diagonale veranschaulicht die lineare bzw. nichtlineare Transformation, die schwarze Kurve ist das Eingangs-, die blaue das Ausgangssignal. Statische Systeme können im allgemeinen durch algebraische Gleichungen beschrieben werden.

Dynamische nichtlineare Systeme

Unter dynamischen nichtlinearen Systemen versteht man solche, die auch Speicherelemente und damit ein „Gedächtnis“ besitzen. Dadurch wird die Systemantwort nicht vom augenblicklichen Wert des Systemreizes allein bestimmt. Sie hängt auch von der Vorgeschichte, also von der Stärke der vorangehenden Erregung ab. Weitere Informationen findet man im Artikel: Dynamisches System.

Charakterisierung der nichtlinearen Systeme bezüglich ihres Frequenzverhaltens

Bei Erregung linearer Systeme mit einem Sinus-Signal erhält man am Ausgang wiederum ein sinusförmiges Signal mit derselben Frequenz, jedoch mit veränderter Phasenlage und Amplitude.

Diese Eigenschaft weisen nichtlineare Systeme im Allgemeinen nicht auf. Nichtlineare Systeme können an ihrem Systemausgang Frequenzanteile aufweisen, welche im Eingangssignal nicht enthalten sind (nichtlineare Verzerrung). Beispiele aus der Elektrotechnik:

  • Wenn ein nichtlinearer Verstärker mit einer einzigen Sinusspannung gespeist wird, erzeugt er Harmonische. Deren Anteile werden mit zunehmender Übersteuerung größer.
  • Wenn er mit einer Überlagerung zweier oder mehrerer Sinusspannungen unterschiedlicher Frequenz gespeist wird, tritt zusätzlich Intermodulation auf und es entstehen Kombinationsfrequenzen.
  • Sollen mehrere modulierte Wechselspannungen gleichzeitig verstärkt werden, kann es zu Kreuzmodulation kommen. Dann übernimmt eine Wechselspannung teilweise die Modulation der anderen (Luxemburgeffekt).

Siehe auch

 

Roger Penrose

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Roger Penrose

Sir Roger Penrose OM (* 8. August 1931 in Colchester, Essex) ist ein englischer Mathematiker und theoretischer Physiker, dessen Arbeiten auf den Gebieten der mathematischen Physik und der Kosmologie hoch geachtet sind. Er hat sich auch in zahlreichen populärwissenschaftlichen Büchern zu Themen der Philosophie geäußert.

Leben

Roger Penrose ist der Sohn des medizinischen Genetikers Lionel Penrose (Begründer des Colchester Surveys zur Aufdeckung genetischer bzw. Umwelt-Ursachen von geistigen Erkrankungen) und von Margaret Leathes, einer Ärztin. Er ist Bruder des Physikers Oliver Penrose (* 1929) und des zehnfachen (1958–1969) britischen Schachmeisters und Psychologen Jonathan Penrose (* 1933). Sein Vater wanderte 1939 nach London in Ontario, Kanada, aus (er war dort Direktor der psychiatrischen Klinik am Hospital), wo Penrose die Schule besuchte. 1945 kehrte die Familie nach England zurück, und Penrose besuchte das University College in London, wo sein Vater Professor für Genetik war. Nach dem Bachelor wechselte er an die Universität Cambridge, um in algebraischer Geometrie bei William Vallance Douglas Hodge zu arbeiten, wechselte dann aber zu John Arthur Todd, bei dem er 1957 promovierte. Daneben hörte er auch Physik-Kurse bei Paul Dirac und Hermann Bondi und wurde außerdem stark durch den Kosmologen Dennis Sciama beeinflusst. 1956/57 war er Assistenzprofessor am Bedford College, wechselte danach als Research Fellow an das St. John’s College in Cambridge. 1959–1961 war er in den USA an der Princeton University und an der Syracuse University, danach 1961–1963 am King’s College in Cambridge und 1963/4 als Gastprofessor an der University of Texas at Austin. 1964 wurde er Dozent am Birkbeck College in London und 1966 dort Professor für angewandte Mathematik. 1973 wurde er Rouse Ball Professor an der Oxford University. Von 1992 bis 1995 war Roger Penrose Präsident der International Society on General Relativity and Gravitation. 1998 emeritierte er und wurde Geometrie-Professor am Gresham College in London.

Öffentlichkeit

In der Öffentlichkeit ist Penrose durch seine populärwissenschaftlichen Arbeiten bekannt: In mehreren Büchern (Computerdenken, Schatten des Geistes, Das Große, das Kleine und der menschliche Geist) setzt er sich mathematisch-physikalisch mit Problemen des Bewusstseins und der künstlichen Intelligenz auseinander.

Leistungen

Physik

Seine wichtigste Entdeckung sind wohl die sogenannten Spin-Netzwerke, aus denen später die Theorie der Loop-Quantengravitation und die Twistor-Theorie entwickelt wurde. Insbesondere der Ausbau der Twistor Theorie, die er begründete, war ihm eines der Hauptanliegen in seiner Wissenschaftler-Karriere. Eine weitere grundlegende Erkenntnis in der Kosmologie geht auf ihn und Stephen Hawking zurück: der Satz von Hawking-Penrose, nach dem es keine Lösungen der Einsteinschen Feldgleichungen ohne Singularitäten (z. B. Urknall oder Schwarze Löcher) gibt. Schließlich machte Penrose 1979 mit der Weylkrümmungshypothese auch einen Vorschlag, wie der Zweite Hauptsatz der Thermodynamik in der Kosmologie verwurzelt sein könnte, und wie somit einerseits der kosmologische Zeitpfeil, andererseits die beeindruckende beobachtete räumliche Homogenität und Isotropie des Universums erklärt werden könnte. Im Zusammenhang mit der allgemeinen Relativitätstheorie entwickelte er auch das Penrose-Diagramm, mit dem man die globale Struktur einer Raumzeit graphisch darstellen kann.

Penrose fordert die Entwicklung einer Theorie der Quantengravitation unter Berücksichtigung einer gewissen Nichtberechenbarkeit in der Welt der Quantenphänomene bzw. deren Deutungen und der Integration der Prinzipien der allgemeinen Relativitätstheorie Einsteins. Diese neue Physik nennt er OR-Physik.

Mathematik

Umsetzung der 5-fachen symmetrischen Kachelstruktur von Roger Penrose

Penta Plexity

Penrose entdeckte 1974 mehrere zueinander verwandte kleine nicht-periodische Mengen von Kacheln, insbesondere auch mehrere aperiodische Paare. Mit diesen Kacheln (genauer: mit zu ihnen kongruenten Kopien) kann die Ebene parkettiert werden, aber keine dieser Parkettierungen ist periodisch (das heißt wiederholt sich auf exakt dieselbe Weise). Sie besitzen aber stets eine gewisse Ordnung und sind fünfzählig (dreh-)symmetrisch. Sie werden daher quasiperiodisch genannt. Diese Penrose-Parkettierungen sind aus einer hierarchisch strukturierten Packung regelmäßiger Fünfecke (s. u.) abgeleitet. Eine Penrose-Pflasterung befindet sich im Eingangsbereich des Matheturms der TU Dortmund. 1984 wurden ähnliche Strukturen bei Quasikristallen gefunden.

Roger Penrose hat unter anderem das Penrose-Dreieck, ein Dreieck mit drei aufeinander stehenden rechten Winkeln, erfunden. Die Konstruktion, die in der Realität nicht möglich ist, hat den niederländischen Grafiker M. C. Escher zu den Bildern Wasserfall und Belvedere animiert.

In der Mathematik wird Schönheit oft mit Einfachheit in Verbindung gebracht. Penrose kommt hier zu dem Ergebnis, dass in der Mathematik nicht Einfachheit als solche schön ist, sondern vor allem unerwartete Einfachheit.

1955 entdeckte er noch als Student die Penrose-Inversen von Matrizen.

Physik und Bewusstsein

Wie auch Stuart Hameroff auf der Suche nach „einer physikalischen Heimat für Bewusstsein“, schlägt er ein – kontrovers diskutiertes – Modell vor, nach dem dieses im Wesentlichen auf nichtrechnerischen, derzeit im Einzelnen noch unbekannten quantenmechanischen Effekten wie EPR-Phänomenen, Quantenverschränkung oder Quanten-Nichtlokalität und Quantenkohärenz beruht, die er in den Mikrotubuli des Zellskelletts und der Schnittstelle mit dem Neuron lokalisiert.

Nach dieser Theorie führen subtile physikalische Prozesse auf Nanometerskala (10-9 m) im Grenzgebiet zwischen klassischer Physik und Quantenmechanik in einem hochentwickelten Nervensystem zu dem, was wir „Geist“ und „Bewusstsein“ nennen. Von anderen Quantenphysikern, Neurobiologen und Philosophen, wie Metzinger, Roth oder Koch, wird das Hameroff-Penrose-Modell allerdings abgelehnt.

Auszeichnungen

Siehe auch

Penrose-Parkettierung

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Eine Penrose-Parkettierung ist ein von Roger Penrose und Robert Ammann im Jahr 1973 entdeckte und 1974 publizierte Familie von sogenannten aperiodischen Kachel-Mustern, welche eine Ebene lückenlos parkettieren kann, ohne dass dabei ein Grundschema periodisch wiederholt werden müsste.

Eine Penrose-Parkettierung Dieselbe Parkettierung wie nebenstehend, jedoch mit Hervorhebung kompletter Sterne, zeigt zunehmendes „Chaos“ bei Entfernung von der Mitte
In beiden Kacheln taucht das Verhältnis τ des goldenen Schnitts auf Kacheln mit Ausbuchtungen und Einkerbungen sowie Farbmustern. Jede dieser zwei Methoden verhindert, dass auch periodische Parkettierungen möglich sind.

Hintergrund

Es gibt mehrere verschiedene Sätze von Penrose-Kacheln; das Bild rechts zeigt ein häufig gewähltes Beispiel. Es besteht aus zwei Rauten, die die gleichen Seitenlängen, aber unterschiedliche Eckwinkel haben:

  • die erste Kachel, die dicke Raute, hat Eckwinkel von 72° und 108°,
  • die zweite Kachel, die dünne Raute, hat Eckwinkel von 36° und 144°.

Alle Winkel sind also Vielfache von 36°. Beide Kacheln stehen in Verbindung zum goldenen Schnitt, bei der dicken Raute hat die lange Diagonale die Länge , die Länge der kurzen Diagonale der dünnen Raute ist 1 / τ. Das Flächenverhältnis der beiden Rauten ist ebenfalls τ, ebenso das Anzahlverhältnis der bei der Parkettierung insgesamt verwendeten Kacheln.

Beim Zusammenfügen der Kacheln muss beachtet werden, dass diese nicht beliebig aneinandergefügt werden dürfen. Das Anbringen von Ausbuchtungen und Einkerbungen an den Kacheln (wie bei Puzzleteilen) kann das ausschließlich korrekte Zusammenfügen sicherstellen, alternativ auch Farbmuster, die nur passend zusammengefügt werden dürfen. Aus ästhetischen Gründen wird die Parkettierung meist mit geraden Kanten dargestellt. Die oft fälschlich genannte Parallelogrammregel, die verbietet, dass zwei Kacheln so zusammengesetzt werden, dass sie gemeinsam ein Parallelogramm bilden, ist jedenfalls nicht ausreichend, um eine periodische Parkettierung zu verhindern.

Eine Parkettierung, die die Parallelogrammregel verletzt.

Beachtet man diese Regel, so erhält man viele (sogar unendlich viele) verschiedene Parkettierungen der Ebene, d. h. Überdeckungen „ohne Löcher“, die sich unendlich fortsetzen lassen. Die Bilder zeigen zwei Beispiele, die darüber hinaus eine fünffache Rotationssymmetrie und fünf Spiegelsymmetrien aufweisen. Es gibt in diesen Mustern aber keine Translationssymmetrie, d. h. die Muster sind aperiodisch. Jedoch kann man zeigen, dass jeder endliche Ausschnitt eines solchen Musters sich unendlich oft wiederfindet (und zwar sogar auch in jeder anderen aus den gleichen Kacheln bestehenden Penrose-Parkettierung).

Die Tatsache, dass es möglich ist, die Ebene mit einer aperiodischen Parkettierung zu überdecken, wurde zuerst 1966 (o. 1964) von Robert Berger bewiesen, der kurz darauf ein konkretes Beispiel mit 20426 verschiedenen Kacheln angeben konnte. In der Folge wurden immer kleinere Sätze von Kacheln für eine solche aperiodische Parkettierung angegeben, bis Penrose schließlich die Zahl der Kacheln auf zwei reduzieren konnte. Neben den erwähnten rhombischen Kacheln gibt es noch ein weiteres Paar von Kacheln, die eine aperiodische Parkettierung liefern, genannt „Drachen“ und „Pfeil“. Ob eine einzelne Kachelform existiert, mit der sich nur aperiodische Parkettierungen realisieren lassen, ist unbekannt.

Alternative Kacheln: Drachen und Pfeil.

Roger Penrose im Foyer des Mitchell Institute for Fundamental Physics and Astronomy, Texas A&M University, dessen Boden mit einem Penrose-Muster ausgelegt ist (Foto März 2010).

Penrose-Muster in der Scherfolie eines elektrischen Rasierers

Aperiodische Parkettierungen wurden zuerst nur als interessante mathematische Struktur betrachtet, aber inzwischen wurden Materialien gefunden, in denen die Atome wie in Penrose-Kacheln angeordnet sind. Diese Materialien können keine periodischen Kristalle bilden, aber Quasikristalle, da sich die Muster „fast“ wiederholen.

Islamische Vorläufer

Bei einer Reise durch Usbekistan 2007 fielen Peter Lu von der Harvard-Universität, der auf dem Gebiet der Quasikristalle arbeitet, an einem Gebäude Kachelornamente auf, die ihn an Penrose-Parkettierungen erinnerten. Bei der Sichtung vieler Fotografien stieß er auf Arbeiten im Darb-i-Imam-Schrein in Isfahan, Iran, aus dem 15. Jahrhundert, welche die Ergebnisse von Penrose vorwegzunehmen scheinen.

Diese Kachelornamentik hat klar ersichtlich ihre Anfänge im Sinne von sich nicht wiederholenden unendlichen Parkettierungen bereits ab dem 12. Jahrhundert (wie Makovicky am Gonbad-e-Kabud in Maragha 1992 zeigte), wobei ein Satz mit fünf einfach zu konstruierenden Grundformen, die sogenannten Girih-Kacheln, zum Einsatz kam. Anders als z.B. für keltische Knoten, bei denen die Konstruktion der Muster nachvollziehbar[1] ist, liegen für die Methoden zur konstruktiven Mustererzeugung in diesem Fall aber noch keine Anhaltspunkte vor. Ab dem 15. Jahrhundert wurde die Ausführungen weiterhin um die Eigenschaft der Selbstähnlichkeit, wie man sie unter anderem bei Fraktalen kennt, ergänzt.

Derzeit sind noch keinerlei Funde von Schablonen bekannt, welche die angesprochenen Grundformen repräsentieren. Einerseits hätte man sie in früheren Jahren der archäologischen Forschung wohl nur schwer als solche erkennen können, andererseits besteht auch die Möglichkeit, dass diese nicht dauerhaft genug waren oder eventuell sogar nach den Arbeiten zerstört wurden. Der Einsatz eines solchen Systems belegt zumindest, dass die Anwendung desselben verstanden und beherrscht wurde und für die Ornamentik-Arbeiten gezielt benutzt wurde. Inwieweit dies ein Hinweis auf ein tiefer gehendes, mathematisches Verständnis der Beteiligten im Bereich der Strukturen und Muster ist, ist derzeit offen.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

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